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数学とファイナンスのメモ/勉強したことを纏めています

無差別曲線と最適消費

微分 ミクロ経済学
問.二つの財の消費量をx,y，価格をp_x,p_y，所得をIとする。効用関数がu(x,y)=x^ a y^ bのときの最適消費計画を求めよ.

予算制約のもとで効用を最大にする財の組み合わせを求める問題です。二通りの解法で解いていきたいと思います。


解法(1) 無差別曲線の傾きと予算線の傾きから求める

最適消費は無差別曲線と予算線が接する点であり，最適消費では無差別曲線の傾きが予算線の傾きと等しくなっている。したがって，それらの値を求め比較することで解が求まる。

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限界代替率MRS(無差別曲線の傾き)は

MRS=\dfrac {\partial u/\partial x}{\partial u/\partial y}= \dfrac {ax^{a-1}y^{b}}{bx^{a}y^{b-1}}= \dfrac {ay}{bx}

予算線の傾き(絶対値)は

p_x x +p_y y = I\ より\ \dfrac{p_x}{p_y}

である。したがって最適消費は以下の二つの式を満たす。

\dfrac {ay}{bx}=\dfrac{p_x}{p_y},\ \ p_x x +p_y y = I

よってこれらの式を解くと最適消費は

\left( x^ {\ast },y^ {\ast }\right) =\left( \left( \dfrac {a}{a+b}\right) \dfrac {I}{p_x},\left( \dfrac {b}{a+b}\right) \dfrac {I}{p_y}\right)

となる。


解法(2) ラグランジュ未定乗数法を用いて求める

この問題は以下のように制約付き最大化問題として記述できる。

max.\ \ u(x,y)
s.t.\ \ g(x,y)=0

ただし\ g(x,y)=I-p_x x -p_y y

したがってラグランジュ関数Lを作ると，

L(x,y,\lambda)=u(x,y)-\lambda g(x,y)

となり，x,y,\lambdaでそれぞれ偏微分してゼロとおく。

\dfrac {\partial L}{\partial x}=ax^{a-1}y^{b}+\lambda p_{x}=0

\dfrac {\partial L}{\partial y}=bx^{a}y^{b-1}+\lambda p_{y}=0

p_x x +p_y y - I = 0

この三式を連立して解くと，解法(1)と同様の解が得られる。

以下の本を参考にしています。

ミクロ経済学の力

ミクロ経済学の力