消費の二面性とスルツキー分解
最適消費計画は財の価格と,所得によって決まりました。前回はその最適消費の求め方を数学的に導きましたが,では価格や所得が変化した時にその消費言い換えれば需要がどのように変化するのでしょうか。価格の変化と需要の変化と関係を偏微分を用いて解説していきます。
スルツキー分解とは?
ある財の需要が別のある財の価格変化にどのように反応するかを示したものがスルツキー分解であり,以下の式で表される。
このスルツキー分解を理解するには,必要となるのが補償需要関数・支出関数・シェファードの補題および消費の二面性の理解が必要である。
補償需要関数
補償需要関数とは「ある価格体系の下で,一定の効用を達成する,最も安上がりな消費計画」のことである。補償需要は財の価格と達成すべき効用の値によって決まり,その式は以下のように表される。
また,この補償需要関数は効用がのもとで最も支出が小さくなる需要であるから,以下に示す支出最小化問題の解である。
s.t.
消費の二面性
今,ある時点での価格・効用・所得をとすると現在の消費について以下が成り立つ。
このように現在の消費が効用最大化問題の解であると同時に支出最小化問題の解であるということが言える。このことを消費の二面性(双対性)と言う。
支出関数
(最小)支出関数とはある価格体系の下で,一定の効用を達成するために必要な最低限必要な金額」をいい,補償需要関数が「ある価格体系の下で,一定の効用を達成する,最も安上がりな消費計画」であることを考えると,以下のように式が与えられる。
シェファードの補題
シェファードの補題とは,「支出関数を価格で微分すると,補償需要量が出る」という事実のことである。このことを証明するために支出関数を財の価格で偏微分する。
ここで補償需要関数は支出最小化問題の解であった。そこで支出最小化問題をラグランジュ未定乗数法を用いて解いていく。ラグランジュ関数を以下のように定義する。
一階の条件を満たすことから
が成り立つ。したがって(1)式は以下のように変形できる。
またの両辺をで偏微分すると,
となり,これを(2)式に代入すると以下の式が得られる。
よって,シェファードの補題が成り立つことが示された。